Logo Universiteit Utrecht

Utrechtse muurformules

Muurschilderingen

Prof. Ornstein onderzoekt de Toevalsbeweging

Wat is hier te zien?

Muurschildering van professor Leonard Ornstein die onderzoek doet naar de toevalsbeweging

Op deze muurschildering is de dronkemansloop te zien, een voorbeeld van toevalsbewegingen waar professor Leonard Ornstein (1880-1941) onderzoek naar deed. De muurschildering is te bewonderen aan de Oosterkade 30 in Utrecht.

De toevalsbeweging is een serie willekeurige opeenvolgende stappen die een voorwerp kan maken. Deze theorie wordt gebruikt om modellen te maken waarmee je bepaalde voorspellingen kan doen, bijvoorbeeld hoe beurskoerzen veranderen of hoe een drijvend voorwerp op zich over het wateroppervlak beweegt. De toevalsbeweging wordt ook wel de dronkemansloop genoemd omdat het bij iemand met een glaasje teveel soms ook volkomen willekeurig lijkt welke kant die nou op loopt.

Leonard Salomon Ornstein is geboren op 12 november 1880 in Nijmegen. Hij studeerde natuurkunde in Leiden en promoveerde in 1908 op een onderzoek naar toepassingen van statistische mechanica op moleculair-theoretische vraagstukken. In 1909 begon hij als hoogleraar in Groningen, maar verwisselde deze plaats in 1914 voor Utrecht.

Tijdens zijn carrière heeft Ornstein zich beziggehouden met veel verschillende onderwerpen, waaronder magnetisme, vloeibare kristallen en metingen aan lichtintensiteit. Vanaf november 1940 mochten joodse wetenschappers niet meer op de universiteit te werken van de Duitse bezetters en ook Ornstein werd ontslagen. Ornstein had in die tijd al langere tijd last van hartklachten en overleed uiteindelijk op 20 mei 1941. Ornstein had vijf kinderen uit twee huwelijken. Een van zijn kleinzoons, die ook Leonard Ornstein heet, is een bekende journalist.

Foto van Leonard Ornstein in 1927

Ornstein in 1927

In 1914 ging Ornstein aan de slag als hoogleraar theoretische natuurkunde aan de Universiteit Utrecht. In 1920 verving hij tijdelijk de directeur van het natuurkundelaboratorium van de Universiteit Utrecht, Willem Julius. Toen Julius in 1925 overleed, kreeg Ornstein een permanente positie als directeur. In zijn tijd in Utrecht is Ornstein de promotor geweest van 95 onderzoekers, onder wie de beroemde sterrenkundige Marcel Minnaert. In 1931 en 1932 was hij rector magnificus van de universiteit.

In 1930 stelde Ornstein samen met George Uhlenbeck het Ornstein-Uhlenbeckproces op. Dit proces is een variatie op de toevalsbeweging. De toevalsbeweging is een reeks van willekeurige opeenvolgende stappen die een object kan maken.

Deskundigen gebruiken dit gegeven om modellen te maken waarmee je bepaalde voorspellingen kunt doen. Voorbeelden hiervan zijn hoe stuifmeelkorrels zich in de wind verspreiden, wat voor route een dier aflegt om eten te vinden, maar ook hoe prijzen van aandelen verlopen.

De variatie die Ornstein en Uhlenbeck hebben gemaakt neemt de snelheid van zo’n beweging mee en stelt dat elke stap die gezet wordt naar verloop van tijd steeds meer richting de gemiddelde waarde van de beweging gaat.

In deze tijd deden Ornstein en Uhlenbeck onderzoek naar hoe je de snelheid van toevalsbewegingen kan bepalen. Hiermee maakten ze gebruik van de tweede wet van Newton. Deze wet stelt dat de snelheid van een bewegend voorwerp afhankelijk is van de krachten die erop uitgeoefend worden. Op basis van deze wet en verschillende eerdere formules rondom de toevalsbeweging hebben ze de volgende formule gemaakt:

dxt = -ϴxtdt +σdWt

Laten we de formule met een voorbeeld uitleggen. Een dronken persoon loopt de deur van zijn of haar favoriete café uit. We willen nu weten welke kant deze persoon gaat lopen. Het beginpunt is de deur. Deze plek duiden we aan met xt en is op het begin is deze 0 cm, dus xt = 0 cm. Om de tijd te meten gebruiken we de waarde t en deze drukken we uit in seconden (s). Het tijdstip waarop de wandeling begint noemen we t = 0 s. De persoon neemt een onvaste stap van 50 centimeter vooruit en doet daar 1 seconde over. Na deze seconde geldt dus xt = 50 cm vooruit, en t = 1 s.

Tijdens het verstrijken van de volgende seconde zet deze persoon weer een stap, nu schuin naar voren. De positie is dan bijvoorbeeld (x = 80 cm vooruit, 40 cm opzij en t = 2). In de volgende seconde heeft de persoon moeite om het evenwicht te bewaren en valt bijna achterover. De persoon zet daarom een stap schuin naar achteren. De positie is dan bijvoorbeeld (x = 40 cm vooruit, 10 cm opzij en t = 3 s). Je weet van tevoren niet in welke richting de persoon een stap zal zetten. Deze richting is namelijk willekeurig.

Hoe deze persoon loopt, is te beschrijven met de formule die Ornstein en Uhlenbeck hebben opgesteld en die je op de muurschildering kunt zien:

dx = -ϴ xt dt + σ dWt

dxt staat voor hoeveel de positie van een voorwerp verandert in een bepaalde tijd. In het bovengenoemde voorbeeld geldt bijvoorbeeld voor de eerste stap dxt  = 50 centimeter. Het eerste gedeelte van de formule na het = teken, bestaat uit drie delen die met elkaar vermenigvuldigd worden: ϴ, xt en dt.

Het symbool ϴ is de Griekse letter theta en is hier een constante. Theta bepaalt hoe snel een beweging na een uitschieter weer terug naar het gemiddelde gaat, xt is de positie van het object op een bepaald tijdstip en dt de tijdstap (in het voorbeeld hierboven is het  1 seconde).

Het tweede gedeelte bestaat uit twee delen die met elkaar vermenigvuldigd worden: σ en dWt. dWt beschrijft de mogelijke uitkomsten van een willekeurig proces. In elke stap heb je namelijk mogelijkheden. In het voorbeeld akn de persoon bijvoorbeeld naar voren, achteren, links of rechts bewegen.

De stap in de eerste seconde gaat bijvoorbeeld naar voren en in tweede seconde gaat die schuin naar voren. σ is de Griekse letter sigma en staat voor hoe groot de stappen zijn die gezet worden.

In deze animatie zie je een voorbeeld van een toevalsbeweging. In dit geval beweegt een deeltje in een ruimte met andere deeltjes die allemaal en op willekeurige momenten tegen elkaar opbotsen en daardoor van richting veranderen.

Waar is de muurschildering te vinden?